पहाड़े कैसे याद करें — शांत तरीक़ा, जो टिकता है

छोटा जवाब: पहाड़े सबसे जल्दी तब याद होते हैं जब एक बार में कम किए जाएँ: ज़्यादातर दिनों कुछ मिनट, एक बार में गिने-चुने तथ्य, और रफ़्तार वाली रटाई की जगह खेल। लय में पहाड़े बोलना — “दो एकम दो, दो दूनी चार” — अच्छी शुरुआत है; बस बीच-बीच में क्रम तोड़कर पूछिए, ताकि 7 × 8 के लिए बच्चे को 7 का पूरा पहाड़ा शुरू से न गाना पड़े। और पहाड़ जितना दिखता है उतना बड़ा नहीं: 10 × 10 चार्ट के सौ ख़ानों में से लगभग इक्कीस तथ्य ही असली मेहनत माँगते हैं।

हम छोटे बच्चों के लिए गणित का एक ऐप बनाते हैं (ऐप अंग्रेज़ी में है, हिंदी में नहीं), जिसमें बच्चे जवाब उँगली से लिखते हैं, और हमने बहुत-से बच्चों को उसके गुणा वाले दौर पार करते देखा है। जिन बच्चों को पहाड़े सहज आ जाते हैं, वे शायद ही कभी वे होते हैं जिन्होंने सबसे ज़्यादा रटा। वे वे होते हैं जिन्होंने थोड़ा-थोड़ा, अक्सर अभ्यास किया, और कोई स्टॉपवॉच लेकर उनके सिर पर खड़ा नहीं रहा। यह गाइड उसी तरीक़े को लिखकर रखती है।

लय में पहाड़े रटना बुरा है क्या?

नहीं। भारत में पहाड़े पीढ़ियों से ज़बानी, लय में याद किए जाते रहे हैं: “दो एकम दो, दो दूनी चार, दो तिया छह, दो चौके आठ, दो पंजे दस…”, और आगे छक्के, सत्ते, अट्ठे। इलाक़े और परिवार के हिसाब से कुछ शब्द थोड़े बदल जाते हैं, पर लय वही रहती है। लय याद को पकड़ने का पुराना, असरदार तरीक़ा है, और स्कूल में बच्चे इसी तरह पहाड़े सुनाते हैं। इस लेख में कुछ भी उसके ख़िलाफ़ नहीं है।

दिक़्क़त सिर्फ़ एक है, और छोटी है: अगर पहाड़ा हमेशा शुरू से, एक ही क्रम में बोला जाए, तो बच्चा अक्सर पूरा गीत याद कर लेता है, अलग-अलग तथ्य नहीं। फिर 7 × 8 पूछने पर वह मन में “सात एकम सात, सात दूनी चौदह…” शुरू से गाता है और आठवीं पंक्ति तक पहुँचता है। जवाब सही आता है, पर देर से, और कक्षा 4–5 के बड़े सवालों में यह देरी भारी पड़ती है। इलाज आसान है: लय से सीखिए, और फिर क्रम तोड़कर पूछिए।

पहाड़ा “आना” असल में किसे कहते हैं?

6 × 7 निकालना और 6 × 7 जानना अलग बातें हैं। निकालना — छह-छह करके ऊपर गिनना, या 6 × 6 में एक 6 और जोड़ना — सचमुच क़ीमती है, और हर बच्चा यहीं से शुरू करता है। जानना तब है जब 42 लगभग एक पल में, बिना मेहनत के आ जाए। स्कूल इस याद की परवाह एक व्यावहारिक वजह से करता है: जब जवाब ख़ुद आ जाता है, तो बच्चे का दिमाग़ असली कठिन काम के लिए ख़ाली रहता है, जैसे कहानी वाला सवाल या लंबा गुणा।

निकालने से जानने तक का रास्ता ज़्यादा दबाव नहीं, बार-बार याद से निकालना है। हर बार जब बच्चा कोई तथ्य चार्ट से पढ़ने की बजाय अपने दिमाग़ से निकालता है, वह तथ्य थोड़ा और पक्का हो जाता है। नीचे की हर सलाह इसी एक बात पर टिकी है: दिखाने से बेहतर है पूछना।

असल में कितने तथ्य याद करने हैं?

दीवार का चार्ट सौ चीज़ें दिखाता है, और इसीलिए पढ़ाई की मेज़ के ऊपर टँगा वह डरावना लगता है। अब देखिए क्या होता है जब आप वह सब हटा दें जो बच्चे को बिना मेहनत मिल जाता है:

इक्कीस। पूरा पहाड़ बस इतना है: 3, 4, 6, 7, 8 और 9 के पहाड़ों से बना एक केंद्र, और सबसे ज़िद्दी तथ्य ज़्यादातर 6 × 7, 7 × 8 और 8 × 8 के आसपास जमा होते हैं। यह तालिका बच्चे को दिखाइए — सचमुच, बैठकर दिखाइए। “चार्ट का ज़्यादातर हिस्सा तो तुम्हें पहले से आता है” — यह एक वाक्य कोई भी नया तथ्य सीखने से पहले पूरे काम का एहसास बदल देता है।

अगर स्कूल 20 तक के पहाड़े माँगता है, तो घबराइए नहीं: 11 से 20 तक के पहाड़े 10 वाले पहाड़ों पर ही टिके हैं। 16 × 7 = 10 × 7 + 6 × 7 = 70 + 42 = 112। जिसे 10 तक के पहाड़े पक्के हैं, उसके लिए आगे का हर पहाड़ा बस एक जोड़ है। उन्हें भी लय से याद कीजिए, और यह तोड़ने वाला तरीक़ा सहारे के लिए रखिए।

पाँच मिनट का तरीक़ा, जो टिकता है

पूरा तरीक़ा यह है। लगभग पाँच मिनट लगते हैं, नाश्ते पर, स्कूल वैन के इंतज़ार में या रास्ते में चलता है, और आपकी आवाज़ के सिवा कुछ नहीं चाहिए।

• हफ़्ते के तीन तथ्य चुनिए। पूरा पहाड़ा नहीं — तीन तथ्य, फ़्रिज पर एक पर्ची में। अगले हफ़्ते, तीन और।
• पूछिए, दिखाइए मत। हल्के से, ज़ोर से पूछिए, और जवाब याद से आने दीजिए। याद से निकालना ही असली दवा है; चार्ट दोबारा पढ़ना उसके मुक़ाबले लगभग बेकार है।
• क्रम तोड़िए। “सात अट्ठे?” सीधे पूछिए, “सात एकम” से शुरू करवाए बिना। लय वाला पूरा पहाड़ा अलग से सुनाने दीजिए, पर सवाल बीच से आएँ।
• पुराने तथ्य मिलाइए। हर नए तथ्य के साथ दो ऐसे पूछिए जो पहले से आते हैं। आसान जीतें मज़ा बनाए रखती हैं, और दोहराना भूलने से बचाता है।
• अटके तो निकाल लेने दीजिए। “6 × 7 नहीं पता… पर 6 × 6 = 36, और 6 और = 42।” यह सहारा नक़ल नहीं; यही तथ्य बनने की प्रक्रिया है।
• मज़ा रहते ही रुकिए। पाँच मिनट, फिर बस — हो सके तो किसी जीत पर। आज ज़्यादा करने से बेहतर है कल फिर करना।

पहाड़ों का क्रम उतना मायने नहीं रखता जितना लोग सोचते हैं, पर एक समझदार क्रम है — 2, 10 और 5 पहले, मुश्किल 6 से 9 आख़िर में। वह, और हर कक्षा में स्कूल क्या चाहता है, यहाँ है: पहाड़े किस उम्र में सीखें।

कौन-सी तरकीबें सचमुच काम की हैं?

पहाड़ों की तरकीबें हर जगह हैं, और ज़्यादातर देखने में मज़ेदार, रखने में कम काम की। पर चार सचमुच काम आती हैं:

• 9 का पहाड़ा उँगलियों पर। दसों उँगलियाँ खोलिए और जिस संख्या से गुणा करना है, बाईं ओर से गिनकर उतनी ही नंबर की उँगली मोड़िए — 9 × 4 के लिए चौथी उँगली। मुड़ी उँगली के बाईं तरफ़ की उँगलियाँ दहाई हैं (3), दाईं तरफ़ की इकाई (6): 36। 9 के पूरे पहाड़े पर चलती है।
• 9 के अंकों की जाँच। 9 के पहाड़े के हर जवाब के अंकों का जोड़ 9 होता है — 18, 27, 36, 45… — और दहाई का अंक उस संख्या से एक कम होता है जिससे गुणा किया। बच्चों को पैटर्न पकड़ने में मज़ा आता है।
• दुगुना करने की कड़ी। 4 का पहाड़ा 2 का दुगुना है; 8 का पहाड़ा 4 का दुगुना। जो बच्चा दुगुना कर सकता है, वह भूला हुआ 8 का तथ्य दो शांत क़दमों में पा लेता है।
• वर्ग निशानी की तरह। 6 × 6, 7 × 7 और 8 × 8 चार्ट की तिरछी कतार में निशानियाँ बनाते हैं। 7 × 7 = 49 से, डराने वाला 7 × 8 बस एक 7 और है।

कौन-से खेल याद करने का काम ख़ुद कर देते हैं?

ताश की एक गड्डी और दो पासे ज़्यादातर काम कर देते हैं। इनमें से हर खेल असल में भेस बदले हुए याद का अभ्यास है:

• गुणा वाली जंग। ताश से बादशाह, बेगम और ग़ुलाम निकाल दीजिए और पत्ते बाँट लीजिए। दोनों एक-एक पत्ता पलटें; जो पहले गुणनफल बोले, दोनों पत्ते उसके। अगर हुनर में बड़ा फ़र्क़ है, तो बड़ा सिर्फ़ चार्ट के कठिन आधे का जवाब दे।
• पासों की टक्कर। दो पासे फेंकिए, गुणा कीजिए, बारी बदलिए। लूडो के दो पासे 6 × 6 तक ही जाते हैं, जो कठिन केंद्र का नरम किनारा है — शुरुआत के लिए बिल्कुल ठीक।
• जोड़ी मिलाओ। कुछ कार्डों पर सवाल, कुछ पर जवाब; बाँटिए और जोड़ी मिलाइए। कार्ड साथ बैठकर बनाना अपने-आप में अभ्यास का पूरा दौर है।
• रोज़ का गुणा। चप्पलों के जोड़े 2 का पहाड़ा हैं, ऑटो के पहिए 3 का, कुर्सी के पाए 4 का, उँगलियाँ 5 और 10 का। पार्किंग में “उन तीन कारों में कितने पहिए?” भी याद से निकालना ही है।
• अपना स्कोर, आपका नहीं। गिनती बच्चा ख़ुद रखे और कल के अपने स्कोर को हराने की कोशिश करे — अपना, भाई-बहन का नहीं। जिस प्रगति का मालिक बच्चा ख़ुद है, वही प्रेरणा टिकती है।

रफ़्तार वाली रटाई उल्टी क्यों पड़ती है?

घड़ी लगाकर लिए गए टेस्ट मेहनत और अनुशासन जैसे लगते हैं। पर बहुत-से बच्चों के लिए घड़ी काम ही बदल देती है: याद करने की बजाय वे डर सँभाल रहे होते हैं। स्टैनफ़र्ड विश्वविद्यालय का गणित-शिक्षा समूह youcubed अपने लेख “Fluency Without Fear” में लिखता है कि समय का दबाव कुछ बच्चों में गणित के डर से जुड़ा है, और सहजता समझ और इस्तेमाल से आती है, दौड़ से नहीं।

व्यवहार में इसका मतलब: रफ़्तार तथ्यों को अच्छी तरह जानने का नतीजा है, उन्हें सीखने का तरीक़ा नहीं। घर का अभ्यास बिना घड़ी रखिए, कार्ड बच्चे के हाथ में रहने दीजिए, और अगर स्कूल में ज़बानी पहाड़ा टेस्ट या समय वाले टेस्ट होते हैं, तो घर को सुकून वाली जगह बनाइए — वह एक जगह जहाँ 7 × 8 पर तीन सेकंड लगना बिल्कुल ठीक है।

पहाड़े याद होने में कितना समय लगता है?

महीने, दिन नहीं — और यह योजना है, नाकामी नहीं। निपुण भारत के लक्ष्य ख़ुद लगभग दो साल का रास्ता रखते हैं: कक्षा 2 में 2, 3 और 4 के पहाड़े, कक्षा 3 के अंत तक 2 से 10 तक। पाँच मिनट वाले तरीक़े से चार्ट का आसान आधा आम तौर पर कुछ हफ़्तों में पक्का लगने लगता है, और इक्कीस का कठिन केंद्र एक-दो टर्म में जमता है। रास्ते में भूलना तय है: पिछले महीने सीखा तथ्य फिसलेगा, और हर बार पहले से जल्दी लौटेगा। भूलने और लौटने का यही चक्कर असल में याद करना है।

अगर ज़्यादा समय लग रहा है, तो रोज़ के मिनट बढ़ाना शायद ही इलाज है — छोटे गुच्छे, ज़्यादा दिन, ज़्यादा खेल आज़माइए। और अगर बच्चा महीनों तक उन्हीं गिने-चुने तथ्यों पर घबराया या अटका रहे, तो पहली बात उसके टीचर से कीजिए; वे पूरी कक्षा को देख चुके हैं।

हमारा ऐप कहाँ फ़िट होता है, ईमानदारी से

हमारा ऐप, 99 Math Animals, रटाई से पहले वाले क़दम पर सबसे मज़बूत है: बराबर समूहों के रूप में गुणा — तीन-तीन सेबों की चार टोकरियाँ — जो पहाड़ों को बेतरतीब जवाबों की दीवार बनने से बचाता है।

उसमें गुणा के दौर हैं जिनमें बच्चा उँगली से अंक लिखकर जवाब देता है, पर यह 20 तक के पहाड़े रटवाने वाली मशीन नहीं है। 99 Math Animals हिंदी में नहीं है: ऐप अंग्रेज़ी में है (साथ ही पोलिश, जर्मन, स्पेनिश और जापानी में), इसलिए लय वाला “दो दूनी चार” घर से ही आएगा। इस गाइड की हर बात बिना किसी स्क्रीन के काम करती है। अगर आप अभ्यास के लिए ऐप तौल रहे हैं, तो हमारी मैथ्स ऐप चुनने की चेकलिस्ट जान-बूझकर हमारे जैसे ऐप्स पर सख़्त है, और घर पर गिनती के खेल उससे पहले के सालों के बारे में है, जिन पर यह सब टिका है।